1 引　　言液晶相作为一种中间相，其取向有序程度介于结晶相和各向同性液体之间。由长棒状分子组成的化合物经常表现出多态性，在加热这些化合物时，随着温度的升高，化合物会逐次经历一个或多个有序程度不同的液晶相。根据分子排布方式的不同，液晶相可分为向列相、胆甾相、近晶相等。其中向列相是最简单的液晶相，也是应用最广泛的液晶相。对凝聚态物质的研究发现，材料的许多性质往往并不决定于分子、原子的规则排布，而决定于材料中不规则排列的缺陷，因此利用缺陷可以设计具有特定性能的材料。要理解材料如何从一个相转变到另一个相，也需要了解相变期间产生的缺陷。液晶中的拓扑缺陷是液晶研究中的核心问题之一，为了研究液晶中的缺陷、相变、分子分布规律及其动力学行为，需要引入数学模型进行描述［1-2］。根据描述液晶分子状态所选取的序参量不同，经典的静态液晶模型可分为基于位致相互作用的微观Onsager分子理论模型［3-4］、宏观唯象的Oseen-Frank［5-6］和Ericksen连续弹性体向量模型［7-8］以及介观的Landau-de Gennes连续弹性体张量模型［9］。本文将主要围绕向列相液晶的静态理论模型讨论不同模型的适用范围，分析界面效应下锚定能引起的自由能变化，并介绍近年来有关模型极限问题的研究和模型在拓扑缺陷研究以及诸如液晶胶体、双稳态显示等实际应用领域的研究进展。2 液晶静态模型理论向列相液晶分子取向具有长程有序性，可以是只在一个方向上有明显易取向性的单轴向列相，也可以是在两个不同方向上都有明显易取向性的双轴向列相。单轴向列相是最简单的向列相，具有单一的局域优先取向方向，称作指向矢n。由于分子取向没有正反方向的区别，指向矢n与-n所描述的两种分子取向状态在物理上等价。分子相对于指向矢的取向有序度由一个标量序参量表示，其物理意义表示为分子取向与指向矢的一致程度。对于单轴向列相液晶，标量序参量为s=123cos2θ-1≡12∫0π3cos2θ-1fθdθ , （1）式中θ是分子长轴与指向矢之间的夹角，表示热力学平均或统计平均，f(θ)是分子长轴取向的概率分布函数。在双轴向列相液晶中，由于分子具有两个方向的易取向性，还需引入另一单位向量m，与n和m相对应的描述取向排列有序度的标量序参量通常表示为s和r。向列相液晶中向错缺陷的出现打破了各向同性液体的旋转对称性，产生的各向异性特性使液晶在诸多物理应用及数学建模领域广受关注。对于静态和动态的向列相液晶，分别存在多种建模方法。本文将介绍几种经典的静态理论模型：Onsager分子模型、Oseen-Frank和Ericksen向量模型以及Landau-de Gennes张量模型。其中，Oseen-Frank向量模型和Landau-de Gennes张量模型被广泛用于实际问题的数值计算和分析。2.1　Onsager模型Onsager［3］最先研究了液晶分子中各向异性的位致相互作用对系统整体统计性质的影响，将液晶分子取向的概率密度作为序参量描述整个系统的能量。Onsager以排斥体积势作为势函数，认为存在的位致排斥相互作用必然对向列相的存在起作用。然而在利用Onsager方程确定方位分布函数时发现，仅考虑排斥相互作用所作出的预测与实际观察不符。Maier和Saupe［4］提出的吸引相互作用理论给出了更普遍的分子间相互作用势。基于统计力学和平均场近似计算系统的自由能，将位致相互作用和吸引相互作用结合考虑，可描述向列相到各向同性相的相变性质。Onsager模型描述的整个系统的能量［2］如下：Af=∬S2f(x,m)(lnf(x,m)-1)+   12f(x,m)𝒰f(m,x)dmdx ，（2）𝒰f =∬𝕊2B(x,m;x',m')f(x',m')dx'dm' ，（3）其中f(x,m)为位置x处指向方向m的液晶分子的概率密度；𝒰f中𝒰为对函数进行所述操作而定义的算符，直接作用于函数f。式（2）中第一项代表熵， 第二项代表系统中分子相互作用的总势能。B(x,m;x',m')为分子间相互作用势， 表示x处指向方向m的分子与x'处指向m'的分子之间的相互作用势大小。2.2　Oseen-Frank模型Oseen-Frank（OF）模型是向列相液晶最简单的连续体理论，由Oseen提出［5］，Frank进一步将其发展［6］。OF理论局限于取向有序度恒定的单轴向列相液晶材料，液晶的状态由指向矢n描述。OF能量是指向矢n在域中偏离均匀排列形成畸变所产生的自由能，能量密度是对弹性亥姆霍兹自由能中的∇n项的泰勒展开，要求能量密度是n和∇n的偶函数，且满足要求所保留的最小项是∇n2。考虑∇n2的所有项，同时受均匀性和局域不变性条件限制，OF能量定义为泛函［10］：En=∭Ω12K1∇⋅n2+K2n⋅∇×n2+K3n×∇×n2+12K2+K4⋅∇⋅n⋅∇n-∇⋅nndΩ ，（4）式中的前3项分别对应于指向矢的展曲、扭曲和弯曲畸变所产生的能量，与系数K1、K2和K3相关的畸变如图1所示。K4为鞍展（Saddle-splay）项，通过散度定理可以转化为只与边界有关的表面项。指向矢受n=1的约束，通过拉格朗日乘子法可由方位角和极角表示：10.37188/CJLCD.2022-0189.F001图1指向矢畸变的3种类型［10］Fig.1Three types of deformation to the director［10］nθ,ϕ=(cosθsinϕ,sinθsinϕ,cosϕ) ，（5）对于z轴上极角ϕ不变的系统，式（4）中第二项和第四项为零，能量表达式大幅简化。物理上可观察到的平衡态对应于OF能量的极小值（受施加的边界条件影响），Hardt等人给出了这些极小值存在性和部分正则性的证明［11］。一些液晶材料的弹性常数已经被实验测量，大多具有相同的数量级，可采用常数近似。当K1=K2=K3=K，K4=0时，OF能量简化为狄利克雷能［12］：En=K2∭Ω∇n2dΩ .（6）上述讨论是基于没有外部场和表面效应的一般情况。然而在液晶物理学中，表面效应十分重要。表面对液晶分子有锚定作用，使表面附近的液晶分子的排列更加有序，其指向矢会倾向于一个固定的平均方向——易取向方向。在域表面的处理中，液晶分子施加易取向方向的锚定方法包括指向矢沿平面法线方向的垂直锚定和指向矢与平面相切的平面锚定两种。为了表征锚定程度强弱，引入界面自由能的概念，也称锚定能［13-14］。当作用在液晶分子上的表面力足够强时，迫使指向矢在表面有确定的方向，这种情况被称为强锚定。张方辉等人［13］指出，在任何情况下，强锚定的表面能都可以忽略，表面的作用只须简单地归结为固定界面附近的n与表面的易取向方向。强锚定时，分子沿易取向方向以满足OF能量极小化，n服从狄利克雷边界条件n=nB，单位向量nB为易取向方向。如果作用在界面上的表面力很弱，那么指向矢可能不会理想地沿着施加的易取向方向排布，这种情况被称为弱锚定。弱锚定时，表面能不能被忽略，体系自由能为表面能和体积能两部分之和。弱锚定时表面能有多种形式，最简单的表面势是Rapini-Papoular能［15］：Es=∯∂ΩW2n⋅v2dΩ ，（7）其中W为锚定强度，v为表面的外法向。界面对液晶分子锚定作用的强弱可由外推长度ξ=K/W描述［16］，其大小主要取决于分子的平均线度、表面能的各向异性部分以及液晶分子之间的相互作用能。常数近似下外推长度是决定表面锚定还是弹性特性中哪一个占主导的重要参数。2.3　Ericksen模型OF理论的局限性在于它相当于假设液晶在各空间位置具有恒定的分子取向序参量，这导致在使用其分析实际中存在的液晶缺陷时，由于缺陷附近指向矢的不连续变化，根据其能量表达式，相应的自由能密度将趋于无穷大。为了建立更全面的连续理论来描述液晶这种特殊液体的性质，人们做了许多尝试。Ericksen对OF模型进行了重新阐述，发展出了Ericksen静态理论［7-8］。Ericksen理论也仅限于单轴液晶材料，但可以解释空间上变化的取向有序度，通过指向矢n和标量序参量s描述液晶的状态［8］。单弹性常数近似下，其自由能的最简单形式为Es,n=∭ΩK∇s2+s2∇n2+fBsdΩ ，（8）其中K为与材料有关的弹性常数，fBs是一个温度相关的体积势（s为首选的序参量）。其边界条件情况类似于OF模型，既可以对n和s施加限制，也可以引入表面势。Ericksen模型的前提是只要n存在奇点，s就会消失，可以解释所有物理上可观察到的缺陷。Ericksen连续体模型可连接OF模型和Landau-de Gennes（LdG）模型，用以描述各向同性到单轴向列相的相变，但不能描述双轴向列相。2.4　Landau-de Gennes模型LdG模型是描述向列相液晶较精确的连续体理论，可以描述各向同性相、单轴和双轴向列相以及它们之间的相变［9，17］。液晶的状态由一个对称的无迹矩阵Q张量表示，Q的特征向量提供了取向序的方向信息，而特征值提供了分子取向的有序度，决定液晶的相。任意一个3×3矩阵可以用特征值λi和特征向量ei表示［10］Q=λ1e1⊗e1+λ2e2⊗e2+λ3e3⊗e3 ，（9）由于Q是无迹的，要求同时满足λ1+λ2+λ3=0和∑i=13ei⊗ei=I，I为3×3单位矩阵，有Q=2λ1+λ2e1⊗e1+2λ2+λ1e2⊗e2-λ1+λ2I ，（10）令s=2λ1+λ2，r=2λ2+λ1，n=e1，m=e2，当Q的3个特征值完全不同时描述双轴相，存在两个指向矢n、m，以及两个对应的序参量s、r，Q可以写为如下形式：Q=sn⊗n-I3+r(m⊗m-I3) ，（11）当Q有两个不同的特征值时描述单轴相，只存在一个指向矢n和一个序参量s，式（11）简化为Q=sn⊗n-I3 ，（12）如果Q只有一个特征值，根据无迹条件，Q=0，此时对应各向同性相。LdG能量泛函是关于Q及其空间导数的非线性积分泛函：EQ=∭ΩfEQ+fBQdΩ ，（13）式中fEQ是弹性能密度，描述液晶指向的空间变化带来的能量，fBQ是体积能。弹性能密度fEQ的一般形式为［10］fEQ=∑i,j,k=13L12∂Qij∂xk2+L22∂Qij∂xj∂Qik∂xk+L32∂Qij∂xk∂Qik∂xj ，（14）x1,x2,x3表示笛卡尔坐标系的3个轴。弹性系数L与OF弹性常数K存在如下关系［18］：L1=K3-K1+3K26Sexp2 ,L2=K1-K2-K4Sexp2 ,L3=K4Sexp2 , （15）其中Sexp表示实验测量的序参量。单弹性常数近似下的弹性能密度为fEQ=∑i,j,k=13L 2∂Qij∂xk2≡L2∇Q2 .（16）体积能fBQ允许各向同性相到向列相转变，决定优先相。在高温下，液晶在能量上更容易得到各向同性态，Q=0为全局极小值。而在低温下更容易得到单轴或双轴向列态。体积能表示为对各向同性态Q=0的泰勒级数展开，允许各向同性到单轴相变的最小展开是四阶展开［16］：fB(Q)=F0+A2trQ2+B3trQ3+C4(trQ2)2 ，（17）其中F0是一个常数项，满足fBQ0。二阶系数A与温度T存在线性关系A=α(T-T*)，α0，T*是各向同性态失去稳定性的临界温度。为满足全局极小值有限，四阶系数C必须为正值，四阶体积势的临界点是单轴向列态Q张量［17］，不允许双轴临界点存在［16，19］。允许双轴临界点、单轴临界点和各向同性临界点均存在的最小级数展开是六阶展开。与OF理论相似，接下来讨论表面效应下的自由能。考虑表面效应下的锚定强度，LdG能量中包含了控制表面行为的条件。在强锚定情况下，n服从狄利克雷边界条件沿易取向方向。弱锚定下狄利克雷边界条件用表面锚定能代替。锚定能有多种形式，包括Rapini-Papoular表面能［15］、Durand-Nobili表面能［20］等，可根据实际需求和适用条件选择。例如Tsakonas等人［21］选用了Rapini-Papoular表面能的推广式。Luo等人［22］讨论了LdG框架下，强锚定和弱锚定情况的建模问题。他们研究了弱锚定情况下3种不同的表面锚定能，通过分析序参量的有界性、弱锚定解收敛情况，对比了不同形式表面锚定能的性质，选取出具有诸多优势、最为合适的Durand-Nobili表面能。综上所述，LdG模型可以较为全面地描述液晶中的物理现象，Ericksen和OF模型可以被看作是LdG模型的简化。LdG模型允许空间上变化的取向有序度和双轴性，用张量场表示。而OF模型假定了一个统一的取向有序度，以及一个单轴的有序状态，以向量场形式表示。通过限制Q只允许其解对应于单轴向列相指向矢和单轴序参量，LdG自由能退化为静态的Ericksen变序参量形式的自由能。当序参量为常数时，又进一步退化为OF能量。模型的一般形式包括弹性常数、体积常数、与手性相关的项及挠曲电效应，而更现实的模型可以包含更多的附加项，如上述的表面锚定项、与电场或磁场耦合相关的项、铁电效应等。张辉等人［23］基于LdG理论计算了外加电场作用下液晶分子的自由能表达式，并通过模拟描述指向矢的方位角和极角的变化情况给出相应的缺陷处电场驱动的结构变化，模拟结果给出的挠曲电效应引起的方位角的变化角度与实验一致。液晶的理论模型主要应用于对液晶分子指向场的分析，而液晶中存在的缺陷作为一种特殊的光学纹理具有极大的研究价值。一般来说，液晶中的缺陷由弹性形变、边界条件、外加电场或磁场等引起，不同的理论模型对缺陷的描述存在一定差异。LdG模型是一种介观模型，包含了与点缺陷和向错线的核尺寸等特征相关的分子内在长度尺度。缺陷核尺寸有限，且相关的张量场在缺陷域内保持平滑。OF模型是一个宏观模型，不包含这种内在长度尺度，其平衡指向场的缺陷对应奇异点、线。因此在选用模型研究实际问题时还应考虑对尺度的分析，当研究问题域的几何长度与内在长度（如缺陷核尺寸）相比不算太大时，用LdG模型；而当几何长度尺度远大于缺陷核（且缺陷核的精细结构不重要）时，则使用OF模型［24］。3 模型的极限问题LdG模型和OF模型是表征向列相液晶中平衡取向特性时使用最广泛的连续介质模型。模型包含了大量的物理参数，而对参数依赖效应（解的状态变化、分岔、结构相变、参数极值范围内的行为）的研究具有重要意义。3.1　弹性常数L→0极限问题近年来，LdG模型在数学分析界引起了广泛关注，人们严格探索了在弹性常数的某些极端范围内该模型的限制行为［17，25-26］。Majumdar等人［17］在工作中使用式（18）的自由能形式研究了弹性常数L→0的消失极限。极限L→0是一个物理上相关的极限，因为弹性常数L通常非常小，量级为10-11 J/m。Bauman等人［25］使用了式（19）、（20）中的模型形式，人为地引入无量纲参数ε来驱动弹性常数L1、L2、L3同时归0，其中Qij,k=∂Qij/∂xk，i,j,k=1,2,3。Bauman等人分析了泛函极小值以及在弹性能消失极限ε→0时的行为。上述工作都对模型进行了全量纲形式的分析。ℱQ=∫ΩL∇Q2/2+fBQdV ，（18）ℱεQ=∫ΩfE∇Q+ε-2fB(Q)dV ，（19）fE∇Q=L12Qij,kQij,k+L22Qij,jQik,k+L32Qij,kQik,j ，（20）Golovaty等人［26］研究了一种无量纲模型式（21）、（22），将其表示为二阶张量u=I⊗I （而不是Q）。在完全有序单轴态u=n⊗n（tru=1）中，体积势能具有最小值，ε被称为“无量纲弹性常数”，同样分析了极限ε→0时的行为。Eεu=∫Ω12∇u2+1ε2W(u) dV ，（21）Wu=12tr((u-u2)2) .（22）上述3项工作都得到了形式为Q=sn⊗n-I/3的远离奇异集的极限单轴极小值，其中指向场n对应于OF模型中极小值。Gartland等人［24］给出了极限L→0的解释，通过无量纲化处理和尺度分析表明L→0不是弹性消失极限，而是内在长度（与缺陷核尺度等相关）与几何长度（与问题域尺度相关）相比近乎为0的极限。缺陷核尺寸逐渐减小，有限尺寸缺陷在极限处成为点或线奇异，由介观LdG模型过渡到宏观OF模型。3.2　低温极限Gartland等人［24］通过合适的尺度变换得到了低温极限下的自由能泛函表达式，分析表明这种“低温”极限对应于上述弹性常数L→0的极限问题，表现出缺陷核相对域尺寸近乎为零的尺度极限。两个极限模型有许多共同特征，在一定的条件下可以相互转换。Contreras等人［27］分析了LdG模型在低温极限下的行为，随后Majumdar等人对这一工作进行推广，研究了具有拓扑非平凡和狄里克雷边界条件的任意三维单连通几何上向列相液晶的LdG能量泛函极小化，着重讨论了L→0极限问题［28］。LdG模型及其自由能极小化解在低温状态会显示出一些效应，包括取向有序度的增加、缺陷核尺寸的减小，尤其是能够接触到双轴性问题。Gartland等人证明了在足够低温情况下，可通过局域的双轴跃迁平衡张量场以避免各向同性缺陷核所产生的巨大自由能。双轴缺陷核尺寸由与温度相关的双轴相干长度定义［29-30］，双轴相干长度可以从双轴缺陷核内部解满足的平衡态下Q的拉格朗日方程得到。3.3　极限调和映射Majumdar等人［17］研究了泛函ℱLGQ的全局极小值QL在弹性常数L→0的极限，并对QL的性质、收敛结果进行了说明，定义了极限调和映射Q0：Q(0)=s+n(0)⊗n(0)-13I ，（23）其中s+为常数序参量，n(0)满足固定边界条件下的OF能量极小值，主要结果如下：（1） 在Sobolev空间W1,2存在一个全局极小化集合QLk，使Q(Lk)→Lk→0+Q(0)。（2） 上述集合QLk在远离Q0奇点的内部位置，随着Lk→0，一致收敛于Q0。（3） 体积能密度fBQLk在远离Q0奇点位置，均匀收敛到其极小值，且在内部和边界处保持一致收敛。结果表明，在远离Q0奇点位置处，由极限映射Q0描述的OF理论和LdG理论的预测一致。全局极小化QL是真实解析的并且没有奇点。纹影中出现的光学“缺陷”，从物理角度看是向列相液晶构型性质快速变化的区域。Majumdar等人推测了在QLk中某些类型的光学缺陷（对于小Lk），可能局限于极限映射Q0的解析奇点附近。因为QLk只能在Q0的奇点附近有强的梯度变化，在含有奇点Q0的集合上不能独立于Lk有界。Almgren等人［31］中介绍了关于调和映射中奇点位置的研究，这使人们可以在全局LdG最小化中预测光学缺陷的位置。此外，对收敛结果的分析表明，对于L→0的极限，极限调和映射Q0只提供了QL的一个“粗略”描述。QL可以被认为是具有主要的单轴部分加上一个小的双轴微扰动，而双轴性在全局极小化的QL中的作用也是QL与极限近似Q0的主要区别之一。这种极限类似于Ginzburg-Landau模型的“London”极限以及Landau-Lifshitz铁磁理论中的“Large body”极限［32］，并且在适当解释下可被认为是Oseen-Frank极限［17］。向列相液晶中缺陷核的一个显著特征是会发生双轴性和序参量的大小变化，不能用指向场表示。因此，双轴性在缺陷精细结构的研究中极为重要，已有很多文献对其进行了探讨［33-39］。在液滴半径较大和温度较低的情况下，径向Hedgehog缺陷核不稳定，形成一个+1/2强度的向错环，环线内向列相是具有负的序参量的单轴态，周围是一个双轴环面域［40］。在线缺陷中同样具有单轴性的核心，其周围是双轴性环，Q张量发生变化以匹配液晶整体取向，如图2所示［39］。10.37188/CJLCD.2022-0189.F002图2s=1/2的核［39］。中心为单轴，序参量为负，通过一个双轴环转换成具有正s的单轴形式。Fig.2Core of an s=1/2 disclination［39］. The center is uniaxial with negative order parameter. It transforms via a biaxial ring into a uniaxial form with a positive s.综上所述，对模型相关参数在某些极限下的行为的研究使我们加深了对模型的物理理解，在一些极限中不同模型之间可能存在相互联系。对于LdG模型，未来的研究方向包括随着对全局极小化中双轴性的出现和作用的深入理解，更好地理解L很小但不消失的全局极小值的定性性质，以及更好地描述极限调和映射的奇点附近的QL。4 液晶静态模型的应用进展液晶理论模型的研究始于20世纪80年代，到目前为止主要是对自由能泛函极小值的研究。在向列相液晶的研究中，利用理论模型可以对液晶相和缺陷、液晶分子内部的应力分布、缺陷形成的机制和行为等进行深入研究。近年来，大量科研工作者致力于应用液晶理论模型解决实际问题，并在相关领域取得大量成果。4.1　液晶静态模型在拓扑缺陷中的应用拓扑缺陷在自然界中以各种尺度出现［41］，其存在的必要条件是相关物理场中自发的对称破缺。液晶因为具有独特的液体特性、光学各向异性、柔软性、实验可处理的时间和空间响应特征尺度以及它们的构型（即相和结构）的多样性，可作为拓扑缺陷可控分析的理想测试平台。液晶中的缺陷由指向矢的局域不连续产生，并且影响周围液晶分子取向。在单轴向列相的平衡态中，其指向矢n在空间上均匀地沿着对称破缺方向排列，液晶中的缺陷在取向序中受拓扑保护，其总拓扑荷为固定边界条件下拓扑不变的守恒量。液晶中的拓扑缺陷研究是液晶研究中的核心问题之一。理论模型可以对液晶中的缺陷、相变、分子分布规律进行描述，其在拓扑缺陷相关领域中的应用已经得到了学术界的广泛关注［42-44］。从空间维度上对拓扑缺陷的研究主要集中于二维平面和三维球体。Ohzono等人［45］通过偏光显微镜和荧光显微镜观察，利用LdG模型对取向序和产生的畸变图像进行数值计算，表面能采用平面简并锚定的常用形式。然后通过引入手性扰动，得到了三维向列相液晶薄胞（二维平面）中强度为m=±1的拓扑缺陷。其中m=+1的缺陷表现出手性对称破缺和上下对称破缺引起的4种不同结构态，如图3所示。10.37188/CJLCD.2022-0189.F003图3向列相液晶平面薄胞中纹影织构中的拓扑缺陷类型［45］Fig.3Types of topological defects in schlieren textures on a thin planar cell of NLCs［45］在三维球形有限几何限定条件下，液晶分子排布存在多种构型。马鹤等人［46］ 基于LdG理论，研究向列相同轴结构球形液滴的尺寸效应，观察不同半径诱导的结构变化，得到的同轴结构的指向矢排列情况如图4所示。10.37188/CJLCD.2022-0189.F004图4（a）球状结构示意图； （b）三维同轴结构示意图；（c）赤道面截面图；（d）距离两极1/4位置截面图；（e）中心轴处本征值［46］。Fig.4（a） Schematic diagram of a spherical structure； （b） Concentric configuration in 3D representation； （c） Cross section diagram of the equatorial plane； （d） Cross section diagram of the position 1/4 away from the two poles； （e） Eigenvalues at the center axis［46］.Seyednejad等人［47］使用数值方法计算了向列相液晶的对称和非对称球壳的极小化LdG自由能，考虑了由Fournier和Galatola［48］引入的双参数表面简并平行锚定条件和各向同性的向列相弹性，数值分析了壳体内液滴在不同空间排列方式下产生的缺陷的行为，得到了三维向列相液晶球壳的各种拓扑缺陷结构，如图5所示。Pandey等人［49］研究了手性向列相液晶盒中具有垂直表面锚定条件的微球诱导的缺陷——胶体超结构，通过极小化LdG自由能模拟计算得到的场和缺陷构型与实验结果一致。Alama等人［50］利用LdG理论推导出了悬浮在向列相液晶中的小胶体粒子周围的土星环缺陷结构的解析式，在颗粒表面施加由径向单轴张量描述的垂直取向锚定，得到了环半径及其与锚定能关系的显式表达式，提供了与以往工作只依赖于数值计算不同的对缺陷的另一种描述。这种对球形壳层中的缺陷结构的研究在胶体的光电应用领域具有重要意义。10.37188/CJLCD.2022-0189.F005图5向列相液晶壳体和外表面标量序参量的分布。（a， b）具有Boojum缺陷的构型；（c， d）具有四面体缺陷的构型［47］。Fig.5Profiles of the scalar order parameter in the bulk and on the outer surface of nematic liquid crystal shells. （a， b） Configurations with Boojum defects； （c， d） Configurations containing tetrahedral defects［47］.利用理论模型对拓扑缺陷的研究不仅限于向列相液晶。Shamid等人［51］基于LdG模型将液晶的手性与极性进行类比，证明了手性液晶的自发扭曲通常会导致胆甾相或蓝相的出现，极性液晶的自发弯曲会导致扭曲-弯曲相和极性蓝相出现。Carenza等人［52］利用LdG模型对球壳表面的胆甾相液晶壳的缺陷图案进行了分析，通过对自由能极小化，发现不同球壳半径及手性强度情况下球壳表面会出现不同的多边形组合的缺陷模式，如图6所示。10.37188/CJLCD.2022-0189.F006图6胆甾相液晶球壳配置情况。（a）低手性强度时液晶排列为缠绕于外壳周围的螺旋模式；（b， c， d）不同半径下3种有限准晶体的结构：（b）OHS（八边形/六边形/正方形），（c）PH（五边形/六边形），（d）OHP（八边形/六边形/五边形）；（e）对应于（c）中相邻的五边形和六边形产生的两个半斯格明子和9个-1/2缺陷；（f）非晶构型［52］。Fig.6Cholesteric shell configurations. （a） LC spiral mode around the shell at low chiral strength； （b， c， d） Three finite quasicrystals configurations： （b） OHS（octagonal/hexagon/square）， （c） PH（pentagonal/hexagon） and （d） OHP （octagonal/hexagon/pentagonal）； （e） Director field pattern of two half-skyrmions and nine -1/2 defects defining a pentagon and a hexagon in （c）； （f） Amorphous configuration［52］.液晶的相平衡极易被激发，具有由拓扑缺陷构成的多种不同的结构。正如Kralj等人［53］所描述的，这些拓扑缺陷类似于简单的音符，使用一种单一的音符，就可以通过不同的排列方式制造出数种性质上不同的旋律。液晶中这种丰富的拓扑缺陷结构具有广泛的应用价值，理论模型为拓扑缺陷的研究提供了有力手段。4.2　液晶静态模型在液晶胶体中的应用当胶体粒子浸没在液晶材料中时，会引起液晶分子取向的弹性变形，从而产生拓扑缺陷和各向异性相互作用。这些效应具有潜在的应用价值，引起了人们的广泛关注［54-59］。向列相液晶和胶体混合物中的胶体粒子影响液晶分子的均一取向，使其发生畸变。这些指向矢畸变的影响范围远超出了粒子本身的物理范围。在不同尺度中，液晶中胶体问题的研究应选用不同的理论模型。在宏观尺度上，利用OF弹性能可以计算胶粒间的长程力，而在非线性效应非常重要的介观尺度上，则要选用更适合的LdG模型进行描述。胶体问题中对拓扑缺陷的研究是准确理解液晶胶体相互作用的基础［49-50，60-61］。Vilfan等人［60］研究了具有球形颗粒的向列相液晶胶体中，诱导平行锚定条件的粒子间相互作用力的约束效应，实验结果与LdG自由能极小化结论一致。Wang等人［61］基于LdG理论对向列相液晶中单个和一对球形胶体粒子诱导的拓扑缺陷结构进行了数值计算，球形表面采用垂直取向锚定条件，对胶体二聚体对（两粒子问题）周围液晶缺陷的稳定性进行了分析。首先给出相对简单的单粒子问题的相图，为分析两粒子问题提供了基础。单粒子周围会出现两种类型的缺陷构型，包括四极态缺陷结构（土星环结构）和偶极态缺陷结构，如图7所示。偶极-偶极构型二聚体周围的稳定区域与单粒子构型的稳定区域大小非常相似。此外，研究人员［58-59］还研究了向列相液晶中胶体粒子间的相互作用，并由基于OF理论的模拟计算证实。10.37188/CJLCD.2022-0189.F007图7围绕单球形粒子的向列相液晶的缺陷构。（a~c）四极（土星环）态；（d~f）偶极态；（g）相图中这些态具有最低自由能的相应区域［61］。Fig.7Defect configurations in a nematic liquid crystal surrounding a spherical particle. （a~c） Quadrupolar （Saturn-ring） state； （d~f） Dipolar state； （g） Corresponding regimes in the phase diagram where these states have the lowest free energies［61］.液晶胶体中的颗粒受到各向异性弹性力的作用，而这些相互作用又容易通过外加电场、磁场、光、温度或边界约束来调节，为更好地控制胶体组装提供了新的方式。同时，缺陷位点是分子和纳米材料组装的关键，理论模型也为理解其物理化学行为提供了一个有力的工具。Poulin等人［62］首次描述了自组装产生的各种结构，Silvestre、Wang等人［63-64］分别报道了基于LdG模型的液晶中胶体粒子自组装的相关工作，显示出其具有良好的光学应用前景，如图8所示。10.37188/CJLCD.2022-0189.F008图8（a）分子组装的可逆形成和原位交联；（b） LC缺陷中两亲分子的自组装［64］。Fig.8（a） Reversible formation and in situ crosslinking of molecular assemblies； （b） Self-assembly of amphiphiles in LC defects［64］.Sahu等人［65］介绍了一种向列相液晶中的花生状赤铁矿胶体体系，通过LdG模型模拟证实，垂直液晶指向矢取向的胶体由于向外倾斜呈现的纹理表现出弹性畸变的偶极和四极对称，并受外磁场影响。这种具有各向异性形状的磁性胶体在制备具有磁场响应的复杂自组装胶体方面具有广阔的应用前景，如图9所示。Yuan等人［66］描述了一种介观结构“介花”（Mesoflowers）组成的能诱导不同阶弹性多极的向列相胶体系统，如图10所示。通过对LdG自由能的数值极小化，且假定粒子表面为有限垂直锚定，对指向矢排布和弹性相互作用进行模拟，计算出“介花”在指向场中产生的弹性单极子和高阶多极子。通过改变这些粒子的基本组成部分，可以有效地控制它们的胶体行为。而这些介观结构可以作为设计工具，用于工程胶体相互作用和自组装。通过化学合成获得大量的介观结构，可促进胶体自组装新复合材料的发展。液晶胶体具有巨大的潜力，不仅可以将自组装的长度范围从原子扩展到胶体尺度，而且还可以通过超越原子系统所能达到的形式，使胶体组织形式多样化，而液晶的理论模型是这一工作中极为重要的工具。Roel P. A. Dullens团队［67］开发了一种利用聚合物和紫外线改变弯曲分子曲率的方法，利用该方法可以诱导棒状物展现出种类丰富的相行为，例如近晶相（极性和反极性）以及双轴向列相。该工作为生产一系列新型向列相胶体液晶打开了大门，同时这些液晶在电子设备的各种显示器应用中具有巨大潜力。10.37188/CJLCD.2022-0189.F009图9（a~l）向列相液晶中的花生状赤铁矿胶体体系［65］Fig.9（a~l）Nematic colloidal system made of peanut-shaped hematite particles ［65］10.37188/CJLCD.2022-0189.F010图10（a~k）金的介观结构组成的能诱导弹性多极子的向列相胶体系统［66］Fig.10（a~k）Nematic colloidal system consisting of mesostructures of gold capable of inducing elastic multipoles of different order ［66］4.3　液晶静态模型在液晶双稳态显示上的应用近年来，平面双稳态器件在液晶界受到广泛关注。双稳态和多稳态器件是液晶取向理论研究中的一个重要且具有实际应用前景的方向，Majumdar［68］和Spencer［69］最早分别基于OF理论和LdG理论提出了三维后对准双稳向列相（PABN）器件和二维顶点双稳器件（ZBD）。模型通常包括充满向列相液晶材料的浅方形或矩形阱的周期性阵列，其具有几何结构简单和结构图像丰富的优点。LdG模型从统计物理角度出发，针对向列型液晶提出了能全面描述液晶物理现象的Q张量模型。Tsakonas等人［21］将研究聚焦于底部为方形或矩形的阱截面上的平面向列相平衡态。阱面被诱导处理为切向边界条件，在向列相液晶的LdG理论中建模（没有任何外场），计算了二维LdG能量在正方形或矩形阱上具有切向边界条件的局部极小值，并得到两类明显的稳定平衡态：对角解和旋转解（图11）。Luo等人［22］在此基础上，将分析进一步扩展到表面能和一定程度的弱锚定，仔细研究了对角解和旋转解对表面锚定强度的依赖关系，并提出了基于介电效应的切换机制的动态模型，认为对角解与旋转解间的切换由外加电场和顶部边缘锚定之间的竞争引起。通过施加足以打破边缘锚定的外部电场或不施加电场，数值演示了对角解和旋转解之间的切换过程。在LdG理论的框架内，Kusumaatmaja和Majumdar［70］对表面能势建模，计算可变表面锚定强度的稳定平衡态之间的最小能量路径，提供了在LdG理论模型中如何连接各平衡态的新信息。10.37188/CJLCD.2022-0189.F011图11（a）向列相液晶器件原理图；（b）两种稳定平衡解［21］。Fig.11（a） Schematic diagram of the nematic liquid crystal device； （b） Two stable equilibrium solutions［21］.在OF框架下，Walton等人［71］提出了液晶被限制在矩形阱中的静态模型，其指向矢在xy平面内。平面内的分子指向矢由系统总自由能的极小值决定，推导出指向矢的解析表达式，写成一个包含超越方程根的无穷级数，并确定了临界锚定强度。在该强度下，均匀的指向矢取向发生扭曲，得到与上述一致的两类平衡解。使用指向矢取向的解析形式可以计算系统在接近临界锚定强度和无限强锚定极限时的渐近行为。后一种分析可以与该领域前期工作的结果进行比较，最终结果表明渐近展开式与数值计算结果完全一致。Lewis［10］的工作同样基于OF理论模型，讨论了内部缺陷的平衡态以及内部缺陷在不同态之间的能量最小化路径，并计算了稳定平衡之间的能垒。此外，Tiribocchi［72］基于LdG理论研究了蓝相液晶的双稳态缺陷结构，从理论上确定了两种受限的蓝相Ⅰ系统，并可以通过外加电场对其选择。其中文献［22，69，72］涉及到液晶在外电场的作用下在稳态之间的切换，因此自由能中包括电场能项。文献［22，72］还包含Q张量的动力学方程。多稳态显示器在无外场时可以支持两种或更多种稳定的光学对比明显的液晶态，能够在断电时持续显示，只需要在改变显示图像和文字时加电脉冲驱动，具有超低功耗的优点，在未来新一代更经济、更高分辨率的显示器领域有着广泛的应用前景。4.4　液晶静态模型在手性液晶外场响应研究中的应用胆甾相（手性向列相）液晶通常由在向列相液晶中加入手性剂制成，其分子长轴在空间中螺旋旋转。在垂直于螺旋轴的平面内，分子长轴取向沿该平面内的指向矢方向。胆甾相液晶具有很多特殊的性质［16］，如旋光性、圆二色性、选择性反射等，此外它还是一种非常优良的非线性光学材料，具有明显的热光效应［73］、电光效应［74］、磁光效应［75］、压光效应［76］等，使得光在其中传播时表现出一些特殊的性质。Oseen最早提出了一种广泛使用的胆甾液晶模型［5］，将液晶视为一种各向异性介质，其介电张量与位置有关，可以采用两种坐标系描述，即固定坐标系（Oxyz）和旋转坐标系（Oabc）。其中z轴和c轴相同且平行于螺旋轴方向，在第二个坐标系中介电张量用一个“螺旋椭球”表示，两个主轴Oa和Ob绕z轴旋转，沿z方向单位长度的变化对应的两主轴扭转角为2π/p，p表示胆甾相液晶的螺距，如图12所示，其中q为螺旋结构的周期波矢，大小等于2π/p。这一模型已经被广泛应用在胆甾相液晶光学性质及手性材料的计算中［77-80］。10.37188/CJLCD.2022-0189.F012图12Oseen模型中的双坐标系［79］Fig.12Coordinate systems in the Oseen model［79］对于胆甾相液晶而言，外部电场和磁场会使系统的能量面和能量面上极小值的位置发生变化，进而导致液晶相的状态转换，被称为Fréedericksz效应。这种相变既可以连续，也可以不连续，取决于能量面的液晶参数。在一定条件下，胆甾相液晶可以具有多个不同光学性质的稳定态。液晶稳定态间转换的理论描述是液晶基础研究中的一个重要问题，在光学液晶显示器的设计中具有重要意义。在胆甾相液晶的外场响应问题中，一个长螺距的胆甾相液晶被夹在两个水平平行玻璃板之间，假设采用垂直定向，即靠近表面的分子垂直于平板，当两个平行玻璃板间的距离d足够小时，表面锚定迫使胆甾相液晶中所有分子都垂直于平板。当施加平行方向磁场或垂直方向的高频电场，且达到临界阈值以上时，胆甾相液晶的螺旋结构将逐渐解旋，显示了一系列丰富的热力学相图，诸如垂直取向向列相、指纹模式等。当胆甾相的液晶分子周期性螺旋排列时，液晶材料呈现Bragg反射特性；而当胆甾相液晶分子取向受到外场影响而出现变化时，液晶材料的光传输性质也将发生显著变化［81-83］。胆甾相液晶的解螺旋问题可以通过自由能密度函数F来分析，该函数依赖于单位矢量n（r）的局部变化，它给出了在每个位点r上的分子优先取向方向。胆甾相液晶自由能密度最简单的形式是Frank提出的［6］，Frank理论同样假设胆甾相液晶在小尺度上可以视作向列相材料。Meyer ［84］通过OF理论，提出了一种计算由电场或磁场导致胆甾相液晶分子结构变化的通用方法，其一般步骤是找到以单位矢量n（r）为特征的结构，使总自由能最小化。同时，举例讨论了胆甾相液晶螺旋结构随外加电场的变化。当电场作用于填充了胆甾相液晶的液晶盒时，胆甾相液晶分子结构的变化还取决于许多因素，诸如液晶盒厚度、外加电压强度、锚定条件、胆甾相液晶介电特性等。李青等人［85］通过胆甾相液晶的OF弹性连续体理论，分析了多畴胆甾相液晶在静电场下各状态的物理变化过程，以单畴为研究对象建立了静电场中单畴从平面织构态（P态）到焦锥织构态（FC态）以及从 FC态到场致向列相态（H态）的状态转化的物理方程，为进一步研究多畴胆甾相液晶相变的动力学变化规律打下了基础。Ivanov等人［86］通过分析OF模型定义的系统多维能量面，研究了胆甾相液晶中多种稳定态之间的转变，通过能量面的极小值对应稳定状态，以极小值间的最短能量路径定义了转变的机制。Tenishchev等人利用OF模型自由能，推导了胆甾相液晶盒中不同亚稳态之间螺旋结构转换的最短能量路径与电场强度的关系，研究了在电场作用下胆甾相液晶的场致畸变［87-88］，如图13所示。10.37188/CJLCD.2022-0189.F013图13不同电压下沿最小能量路径计算的不同指向矢构型的单位面积能量Fig.13Energy per unit area of different director configurations along the minimum energy paths at different voltages此外，使用LdG自由能表达式可以更好地处理各种平衡和非平衡状态的液晶分子取向。Frisch等人［89］利用LdG模型描述了胆甾相液晶解螺旋的过程，与实验现象和热力学相图理论都有较好的一致性。Gil［90］利用LdG模型数值解析得到胆甾相液晶解螺旋过程中的一些平衡构型，并对研究结果进行了展示和讨论，如图14所示。Belyakov［91］通过最小化LdG自由能，从理论上研究与讨论了胆甾相液晶薄层螺旋结构在温度或外场作用下的解螺旋过程与层边界处分子黏附力的关系。Oswald［92］利用LdG模型分别分析了具有正、负介电各向异性的胆甾相液晶在施加垂直和平行螺旋轴方向电场时，不同电压强度下的液晶相变化。此外，他还利用该模型分析了手性剂作用下近晶A相-胆甾相的相变过程的物理机制，并且描述了将样品置于温度梯度中时，胆甾相液晶的解螺旋过程。Hare等人［93］通过最小化LdG自由能计算了近晶相液晶和胆甾相液晶的分子排列和液晶中的缺陷，展示了利用掺杂少量手性剂的近晶相液晶创建可调、可重构的微透镜，以及它如何在相变时从一种缺陷转变成另一种类型的缺陷，如图15所示。研究发现，近晶相液晶的焦锥畴与温度无关，而胆甾相的圆环形焦锥畴则对螺距和温度十分敏感，因而可以构建对温度敏感和不敏感的两种微透镜，且前者的焦距可以由温度或手性剂掺杂量灵活调节。10.37188/CJLCD.2022-0189.F014图14胆甾相液晶的指纹构型（a）和平移不变构型（b）的数值计算［90］Fig.14Numerical simulations of the cholesteric finger pattern （a） and translationally invariant cholesteric configuration （b）［90］10.37188/CJLCD.2022-0189.F015图15近晶相液晶（a， b）和胆甾相液晶（c， d）中的圆环形畴［93］Fig.15Circular domains in smectic （a， b） and cholesteric （c， d） liquid crystals［93］由此可见，液晶的理论模型对于描述和分析胆甾相液晶在温度和外场作用下的解螺旋与相变过程具有重要意义，进而可以为胆甾相液晶在光场调控、光学传感与检测、光通信等领域的广泛应用奠定基础。除了本文提到的几个领域外，液晶的静态理论模型还在很多领域被广泛应用。Tai等人［94］通过数值模拟和实验证明了垂直表面边界条件的强度可以用于控制孤子和其他局域场构型的结构和拓扑，数值模拟使用了OF和LdG两种模型的自由能泛函极小化。该工作的结果揭示了在改变边界条件时扭曲壁（Twisted walls）、Fingers、Torons、斯格明子（Skyrmions）和其晶体组织之间的相互转换，并为可控地实现斯格明子、Torons和同时拥有二者特征的杂化孤子结构提供了方法。Bisht等人［95］聚焦于向列相液晶填充的微米级浅阱中均匀分布的磁性纳米粒子的稀释悬浮液，考虑平行锚定边界条件，系统内的两个序参量相互耦合在没有外加磁场的情况下可以表现出自发磁化，系统的总自由能由LdG自由能、Ginzburg-Landau自由能和磁化与向列相液晶之间的耦合能3部分组成。通过数值计算得到了由几何形状、边界条件和磁性纳米粒子与宿主向列相介质之间的耦合所诱导的稳定向列相状态及相关的磁化形态，并发现可以通过耦合和材料性质来控制磁化分布中畴壁的位置，通过耦合也可调整内部和边界处液晶缺陷的位置和多样性。Mur等人［96］最近设计的3个不同功能的可调谐双折射向列相层展示了一种有效的液晶光束控制装置（图16），并通过LdG模型计算了指向矢分布。在外电场下操控光束移动、偏转和扩展（或聚焦），可以精确控制出射光的轮廓和传播方向，出射光调节角度可达25°。据此可制造出高精度、易操作的光束控制装置，广泛应用于投影仪、汽车前照灯等领域。10.37188/CJLCD.2022-0189.F016图16（a）液晶光束控制装置示意图；（b）控制输出光束分3步骤进行：偏移、偏转、扩展［96］。Fig.16（a） Schematic view of a liquid crystal beam control device； （b） Control of the output beam is carried out in three steps： the incident beam is shifted， deflected and expanded［96］.5 总结与展望自20世纪末液晶被发现以来，引起了众多科研工作者的兴趣。为了描述这种特殊液体的性质，人们尝试建立了多种理论模型。除本文讨论的静态理论模型外，描述液晶行为的动力学理论也被广泛研究。包括著名的Erickson-Leslie （LE）理论（向量模型）［97］、Doi动力学理论（分子模型）［98］和各种基于张量模型的理论，如均相液晶的Hand理论［99］、Tsuji和Rey对非均质流体的现象学理论［100］。液晶动力学的研究是复杂流体中的重要问题，如Yu等人［101］采用流体动力学耦合模型研究了液晶聚合物在平面剪切流中的微观结构形成和缺陷动力学。Zhang等人［102］将向列相液晶的LdG模型与流体力学框架耦合，探讨球壳约束对流动向列相（Active nematic）液晶的影响。由于篇幅关系，这里不过多论述。本文主要综述了描述液晶的静态理论模型、不同模型的适用条件以及模型之间的联系。处理实际问题时需根据不同模型的适用范围、边界条件选择合适的序参量进行表述。对模型相关参数在极限下的行为的研究有利于更深入地了解模型描述的物理实质。而更高维空间的数学复杂性及基于全局极小值的奇点附近的性质研究是未来的一大挑战。液晶在拓扑缺陷方面的研究主要集中在平衡和非平衡现象中材料性质、几何形状、温度、边界效应和外场之间的复杂相互关系，理论模型的提出为很多现代应用的发展提供了方向。近年来，机器学习，尤其是深度学习被广泛应用于光学领域，如在计算全息图产生与成像、光谱共振曲线预测和超表面的结构设计、光学传感等方面［103-106］显示出巨大的潜力。因此，突破常规经验设计，利用深度学习算法对液晶中拓扑缺陷的预测也是值得期待的。